Las Relaciones y sus propiedades

Las Relaciones en matematicas y sus propiedades especificas


El concepto de Relacion implica en matematicas la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos, que por consiguiente forman parejas ordenadas.

Se puede definir entonces la relación como la correspondencia que hay entre todos o algunos del primer conjunto con uno o mas del segundo conjunto.



Ejemplos de relación


A = {1, 4, 6}   B = {2, 3, 7}




TIPOS DE RELACION:






RELACION REFLEJA ( O REFLEXIVA )


R es una relación refleja en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada elemento de él está relacionado consigo mismo expresado de estas dos formas:

a ð A ð a R a


Ejemplo:


A = { 1 , 2 , 3 }   R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }



RELACION SIMETRICA

R es una relación simétrica en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada par de elementos de él satisface lo siguiente, expresada en cualquiera de estas dos formulas:

a R b ð b R a

Ejemplo:


A = { 1 , 2 , 3 }  R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }



RELACION ANTISIMETRICA

R es una relación antisimétrica en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada par de elementos de él satisface lo siguiente:

a R b ð b R a ð a = b

Ejemplo:


A = { 1 , 2 , 3 }  R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) }



RELACION TRANSITIVA

R es una relación transitiva en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada trío de elementos de él satisface lo siguiente:

a R b ð b R c ð a R c

Ejemplo:

A = { 1 , 2 , 3 }  R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 3 ) }



CLASIFICACION DE RELACIONES





RELACION DE EQUIVALENCIA

R es una relación de equivalencia en un conjunto A no vacío , si y sólo si es refleja, simétrica y transitiva en ese conjunto A .

Ejemplo:

La relación "igual que" ( = ) en el conjunto de los números enteros.

Sean a , b y c números enteros cualesquiera, entonces:

a = a ( Reflexividad )

a = b ð b = a ( Simetría )

a = b ð b = c ð a = c ( Transitividad )

RELACION DE ORDEN

R es una relación de orden en un conjunto A no vacío , si y sólo si es refleja, antisimétrica y transitiva en ese conjunto A .

Ejemplo:

La relación "menor o igual que" ( ð ) en el conjunto de los números enteros.


Sean a , b y c números enteros cualesquiera, entonces:


a ð a ( Reflexividad )

a ð b ð b ð a ð a = b ( Antisimetría )

a ð b ð b ð c ð a ð c ( Transitividad )